Question

如图①所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为直角边向△ABC外

如图①所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为直角边向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，满足∠CAD=∠CBE=90°，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时，试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）如图②，∵△CAD、△CBE是等腰直角三角形，且∠CAD=∠CBE=90°，
∴AC=AD，BC=BE，
∴∠ABC=90°．∠DAD₁+∠CAB=90°．
∵DD₁⊥l，
∴∠DD₁A=90°，
∴∠DD₁A=∠ABC．
∵∠CAB+∠ACB=90°，
∴∠DAD₁=∠ACB．
在△ADD₁和△CAB中，

∠DD1A＝∠ABC ∠DAD1＝∠ACB AD＝AC

，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；

（2）DD₁，EE₁，AB之间的数量关系是：DD₁+EE₁=AB
理由：如图①，
过点C作CH⊥l于H，
同理可得出：△DD₁A≌△AHC（AAS），△CHB≌△EE₁B（AAS），
∴AH=DD₁，HB=EE₁，
∴AH+HB=DD₁+EE₁，
即AB=DD₁+EE₁．