Question

已知函数f（x）=ex+2x2-3x（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ） 当x≥1时，若关

已知函数f（x）=ex+2x2-3x（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ） 当x≥1时，若关于x的不等式f （x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=e^x+2x²-3x，得
f'（x）=e^x+4x-3，则f′（1）=e+1，
又f （1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为：
y-e+1=（e+1）（x-1），
即：（e+1）x-y-2=0；
（Ⅱ）由f （x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，
∵x≥1，
∴a≤

ex+2x2?3x

x

令g(x)＝

ex+2x2?3x

x

，则g′(x)＝

(x?1)ex+2x2

x2

，
∵x≥1，
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴g（x）_min=g（1）=e-1，
∴a的取值范围是a≤e-1．