Question

九年级数学题目

Answer 1

2，方法一，根据经验，当BM=BN时，MN最短，此时AM=AB=BC=CN=1,而AC=根号2.故最短是2+根号2。这种方法对于做选择填空很有效，节省时间。
方法二，根据三角形相似。△AMB相似△CBN,则AM/AB=BC/CN
即AM*CN=1
根据不等式性质，两数积一定，和有最小值
AM+CN>=2根号（AM*CN）=2
故MN最小是2+根号2
方法三，用三角函数
设AC与BD相交于点O，角OBM=a°
则角OBN=（135-a）° OB=2分之根号2
则OM=OB*tana
ON=OB*tan(135-a)
=OB*[(tan135-tana)/(1-tan135*tana)]
=OB*[(tana+1)/(tana-1)]
所以MN=OB*{tana+(tana+1)/(tana-1)]}=OB*{2+(tana-1)+2/(tana-1)}>=OB*(2+2根号2）=2+根号2

3,因为MN//AB//CD
所以OM/CD=AM/AD,ON/CD=BN/BC=AM/AD
因此OM/CD+ON/CD=2AM/AD
即MN/CD=2AM/AD
同理MN/AB=2DM/AD
则MN/CD+MN/AB=2AM/AD+2DM/AD=2
即1/CD+1/AB=2/MN

4,思路，把EF翻一个身，变成点F在AD上（成为点G），点E在BC上（成为点H)，则GH//CD//AB
下面证明EF=GH
设EF与GH交于点O，则由于四边形ABFE与四边形ABHG面积相等
所以△EOG与△HOF面积相等
由于角EGO=角HFO，角EOG=角HOF,所以△EOG与△HOF相似
所以它们必定全等
则OE=OH,OF=OG
即EF=GH
长度不变设为x，
再设梯形ABHG的高为h1,梯形CDHG的高为h2
过点B作BG//AD,交GH于点M，交CD于点N
由△BMH相似△BNC得MH/NC=h1/(h1+h2)
则h1/h2=(x-a)/(b-x)
根据面积相等知（a+X)h1=(b+X)h2
即h1/h2=(b+x)/(a+x)
因此，(x-a)/(b-x)=(b+x)/(a+x)
求出x=根号[a^2+b^2)/2]

追问

第二题我会，后面的不会

追答

5，因为AA1/AB=BB1/BC=CC1/CA=k
则AA1=kAB,BB1=kBC,CC1=kCA
A1B=(1-k)AB,B1C=(1-k)BC,C1A=(1-k)CA
过点A1作A1D//BC,交AC于点D,过点B1作B1E//AC,交AB于点E过点C1作C1F//AB,交BC于点F
则有A1D=BB1=kBC,B1E=CC1=kCA,C1F=AA1=kAB
A1E=(1-2k)AB,B1F=(1-2k)BC,C1D=(1-2k)CA
而A1D+C1D>A1C1,B1E+A1E>A1B1,B1F+C1F>B1C1
因此,A1C1+A1B1+B1C1<(A1D+C1D)+(B1E+A1E)+(B1F+C1F)
=(A1D+B1F)+(B1E+C1D)+(C1F+A1E)=(1-k)(AB+BC+CA)
即p1<(1-k)p

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