Question

如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在y正半轴上，OC在x正半轴上，点D是线段OC上一点，过点D作DE⊥AD

如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在y正半轴上，OC在x正半轴上，点D是线段OC上一点，过点D作DE⊥AD交直线BC于点E，以A、D、E为顶点作矩形ADEF．
（1）求证：△AOD∽△DCE；
（2）若点A坐标为（0，4），点C坐标为（7，0）．
①当点D的坐标为（5，0）时，抛物线y=ax2+bx+c过A、F、B三点，求点F的坐标及a、b、c的值；
②若点D（k，0）是线段OC上任意一点，点F是否还在①中所求的抛物线上？如果在，请说明理由；如果不在，请举反例说明；
（3）若点A的坐标是（0，m），点C的坐标是（n，0），当点D在线段OC上运动时，是否也存在一条抛物线，使得点F都落在该抛物线上？若存在，请直接用含m、n的代数式表示该抛物线；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) ∠AOD = ∠DCE = ∠ADE = 90°
∠CDE + ∠CED = 90°, ∠OAD + ∠ODA = 90°
∠ODA + ∠CDE = 180° - ∠ADE = 180° - 90° = 90°
即∠CDE和∠ODA互余，∠CDE和∠CED也互余， ∠ODA = ∠CED
△AOD∽△DCE

(2) B(7, 4)
①OD = 5, CD = 2, OA = 4
△AOD∽△DCE, CE/OD = CD/OA, CE/2 = 5/4
CE = 5/2
E(7, 5/2)
从F向AB做垂线，垂足G，显然△AFG与△DCE全等。F的横坐标=DC=2， F的纵坐标=A的纵坐标+GF=4+CE= 4+ 5/2 = 13/2
F(2, 13/2)
过A: c = 4
过B: 49a + 7b + c = 4
过F: 4a + 2b + c = 13/2
解为：a = -1/4, b = 7/4, c = 4

②与①类似，DC= 7-k, OD = k
△AOD∽△DCE, CE/OD = CD/OA, CE/k = (7 - k)/4
CE = k(7-k)/4
从F向AB做垂线，垂足G，显然△AFG与△DCE全等。F的横坐标=DC=7-k， F的纵坐标=A的纵坐标+GF=4+CE= 4+ k(7-k)/4
F(7-k, 4+ k(7-k)/4)
代入抛物线方程： 4+ k(7-k)/4 = -(7-k)²/4 + 7(7 - k)/4 + 4
k(7-k)/4 = -(7-k)²/4 + 7(7 - k)/4
k(7-k) = -(7-k)² + 7(7 - k)
k(7-k) = (7 - k)(-7+k +7)
k(7-k) = k(7-k)
恒成立（注：k = 7时，C与D重合，无意义)

(3)存在， y = -x²/4 + nx/m + m