Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成的角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：PA＝PD＝

2

，O为AD的中点，则PO⊥AD，
依题意侧面PAD⊥底面ABCD，
且侧面 PAD∩底面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD．（6分）
（Ⅱ）解：BC∥OD且BC=OD，
则四边形BCDO为平行四边形，
故 BC∥CD，所以∠PBO为所求角或其补角，
又tan∠PBO＝

2

2

，
故所求的角的正切值为

2

2

．（12分）