Question

已知：在△ABC中，AB=AC，点P是BC上一点，PC=2PB，连接AP，作∠APD=∠B交AB于点D．连接CD，交AP于点E．（

已知：在△ABC中，AB=AC，点P是BC上一点，PC=2PB，连接AP，作∠APD=∠B交AB于点D．连接CD，交AP于点E．（1）如图1，当∠BAC=90°时，则线段AD与BD的数量关系为______；（2）如图2，当∠BAC=60°时，求证：AD=72BD；（3）在（2）的条件下，过点C作∠DCQ=60°交PA的延长线于点Q如图3，连接DQ，延长CA交DQ于点K，若CQ=672．求线段AK的长．

Answer 1

（1）AD=

5

4

BD，理由为：
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
又∠CPD=∠B+∠BDP=∠APD+∠APC，且∠APD=∠B，
∴∠BDP=∠APC，
∴△PBD∽△ACP，
设AB=AC=3b，则有BC=3

2

b，
由PC=2PB，得到PB=

2

b，PC=2

2

b，
∴

BD

CP

=

PB

AC

，即

BD

2 2 b

=

2 b

3b

，
解得：BD=

4

3

b，
∴AD=AB-BD=3b-

4

3

b=

5

3

b，
则AD=

5

4

BD；
故答案为：AD=

5

4

BD．

（2）证明：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠B=60°，AB=AC=BC，
设AB=AC=BC=3a，由PC=2PB，得到PB=a，PC=2a，
∵∠CPD=∠B+∠BDP=∠APD+∠APC，且∠APD=∠B，
∴∠BDP=∠APC，
∴△PBD∽△ACP，
∴

BD

CP

=