Question

已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=2（n十1）an+n（n+1），（n∈N*），（Ⅰ）若bn＝ann+1，试证明数列{bn}为

已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=2（n十1）an+n（n+1），（n∈N*），（Ⅰ）若bn＝ann+1，试证明数列{bn}为等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵na_n+1=2（n+1）a_n+n（n+1），∴

an+1

n+1

＝

2an

n

+1，…（2分）
∴

an+1

n+1

+1＝

2an

n

+2＝2(

an

n

+1)，即b_n+1=2b_n，
又b₁=2，所以{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知bn＝2n，∴

an

n

+1＝2n，∴an＝n(2n?1)，…（8分）
∴

S

n

＝1×(2?1)+2×(22?1)+3×(23?1)+…+n(2n?1)=1×2+2×2²+3×2³+…+n?2ⁿ-（1+2+3+…+n）=1×2+2×22+3×23+…+n?2n?

n(n+1)

2

．…（10分）
令Tn＝1×2+2×22+3×23+…+n?2n，
则2Tn＝1×22+2×23+3×24+…+n?2n+1，
两式相减得：?Tn＝2+22+23+…+2n?n?2n+1＝

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1，Tn＝2(1?2n)+n?2n+1＝(n?1)?2n+1+2．…（12分）
∴Sn＝(n?1)?2n+1+2?

n(n+1)

2

．…（13分）