Question

已知一个函数在闭区间连续，在开区间可导，而且导数不为0，证明这个函数单调

Answer 1

设f(x)在[a,b]连续，在（a,b）可导，且f'(x)恒≠0，设a≤x1＜x2≤b，则存在一个x0使得f(x1)-f(x2)＝f'(x0)(x1-x2)因为f'(x)恒不为0，当f'(x0)＞0，所以f(x1)＜f(x2)，为增函数；当f'(x0)＜0，f(x1)＞f(x2)为减函数:所以这个函数不是增函数就是减函数，故这个函数具有单调性

追问

这样不行，我先取两个x1，x2，假设让x2的函数值大于x1的，但是这只是个别，我取另外一对x1，x2，就可能x2函数值小于x1的

答案提示用反证法

追答

那就用反证法给你证吧

若f不是单调函数，那么存在不相同的两个数x1,x2使得f(x1)-f(x2)＝f'(x0)(x1-x2)＝0成立，所以f'(x0)＝0与导数不为0矛盾，所以原结论成立