Question

香港注册的公司在大陆开展业务要纳税嘛？

Answer 1

法理上是需要纳税的，但是前提条件是必须在大陆的工商部门登记审批后。
否则悄悄进行商贸往来，也不需缴税。但是有法律责任。

Answer 2

见过 挂空壳的，转外汇 不用再那边交税，国内没注册公司 也做不了 带票的业务，这估计查到就是事。。。
参考资料
香港公司在国内是没办法经营的，一般香港公司是用来做外贸和做品牌。
那么先不论是做什么，只要是在内地经营就需要在国内注册内资的企业，但是，你这个情况比较特殊，教育类的需要审批，这个批文又不是那么好办，所以做国内的企业也很难行得通。
不过，像你这类倒是有过这样的例子，在香港注册教育类的企业，然后在国内办培训，至于他们是怎么办，是否符合规定就不知道了。