Question

设a为实数，函数f(x)=x 2 +|x-a|+1，x∈R，(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值

设a为实数，函数f(x)=x 2 +|x-a|+1，x∈R，(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值．

Answer 1

解：(1)当a=0时，f(-x)=(-x) 2 +|-x|+1=f(x)，此时f(x)为偶函数； 当a≠0时，f(a)=a 2 +1，f(-a)=a 2 +2|a|+1， ∴f(-a)≠f(a)，f(-a)≠-f(a)， 此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)①当x≤a时，函数f(x)=x 2 -x+a+1= +a ， 若 ，则函数f(x)在(-∞，a]上单调递减， ∴函数f(x)在(-∞，a]上单调递减， ∴函数f(x)在(-∞，a]上的最小值为f(a)=a 2 +1； 若 ，函数f(x)在(-∞，a]上的最小值为 ，且 ； ②当x≥a时，函数f(x)=x 2 +x-a+1= -a+ ， 若 ，则函数f(x)在[a，+∞)上最小值为 ，且 ； 若 ，则函数f(x)在[a，+∞)上单调递减， ∴函数f(x)在[a，+∞)上的最小值是f(a)=a 2 +1； 综上，当a≤ 时，函数f(x)的最小值是 ； 当 时，函数f(x)的最小值是a 2 +1； 当 时，函数f(x)的最小值是 。