Question

已知数列{an}中，a1=2，且满足an+1=an+1，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn＝4n+(?1)n?1λ?

已知数列{an}中，a1=2，且满足an+1=an+1，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn＝4n+(?1)n?1λ?2an(λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．

Answer 1

（I）∵a_n+1=a_n+1，n∈N^*，∴a_n+1-a_n=1，n∈N^*…（2分）
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．  …（4分）
∴a_n=n+1…（5分）
（ II）∵a_n=n+1，
∴bn＝4n+(?1)n?1λ?2n+1． …（6分）
∴要使b_n+1＞b_n恒成立，
只要bn+1?bn＝4n+1?4n+(?1)nλ?2n+2?(?1)n?1λ?2n+1＞0恒成立，
∴3?4ⁿ-3λ?（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．   …（8分）
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，由于当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，∴λ＜1． …（10分）
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2…（12分）
综上知-2＜λ＜1，再由λ为非零整数，可得λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．        …（13分）