Question

已知函数f（x）=a（x-1x）-2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

已知函数f（x）=a（x-1x）-2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）设函数g（x）=-ax．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=2（x-

1

x

）-2lnx，
f（1）=0，f′（x）=2（1+

1

x2

）-

2

x

．
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=2．  
从而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0．       
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）． 
∵f′（x）=

ax2?2ax+a

x2

，
不妨设h（x）=ax²-2x+a，
当a＞0时，△=4-4a²，
①若0＜a＜1，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得
0＜x＜

1? 1?a2

a

或x＞

1? 1?a2

a

；
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，

1? 1?a2

a

）和（

1? 1?a2

a

，+∞）；
②若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
（Ⅲ）因为存在一个x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
则ax₀＞2lnx₀，等价于a＞

2lnx0

x0

．
令F（x）=

2lnx

x

，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）_min”．
对F（x）求导，得F′（x）=

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