Question

已知函数f(x)＝mxx2+1+1(m≠0)，g（x）=x2eax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞0时，

已知函数f(x)＝mxx2+1+1(m≠0)，g（x）=x2eax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞0时，若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

函数f(x)＝

mx

x2+1

+1(m≠0)的定义域为R，
f′(x)＝

m(1?x2)

(x2+1)2

＝

m(1?x)(1+x)

(x2+1)2

．
①当m＞0时，当x变化时，f^′（x），f（x）的变化情况如表：

所以，函数f（x）的单调增区间时（-1，1），单调递减区间是（-∞，-1），（1，+∞）．
②当m＜0时，当x变化时，f^′（x），f（x）的变化情况如表：

所以，函数f（x）的单调减区间时（-1，1），单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）．
（Ⅱ）依题意，对任意当m＞0时，对于任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，等价于
当m＞0时，对于任意x₁，x₂∈[0，2]，f（x）_min≥g（x）_max成立．
当m＞0时，由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
因为f（0）=1，f（2）=

2m

5

+1＞1，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．
所以应满足g（x）_max≤1．
因为g（x）=x²e^ax，所以g^′（x）=（ax²+2x）e^ax．
③当a=0时，函数g（x）=x²，任意x∈[0，2]，g（x）_max=g（2）=4，
显然不满足g（x）_max≤1，故a=0不成立．
④当a≠0时，令g^′（x）=（ax²+2x）e^ax=0得：x1＝0，x2＝?

2

a

1°当?

2

a

≥2，即-1≤a＜0时，在[0，2]上g^′（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，
所以g(x)max＝g(2)＝4e2a．
由4e^2a≤1得，a≤-ln2，所以-1≤a≤-ln2．
2°当0＜?

2

a

＜2，即a＜-1时，在[0，?

2

a

)上g^′（x）≥0，在(?

2

a

，2]上g^′（x）＜0，
所以函数g（x）在[0，?

2

a

)上单调递增，在(?

2

a

，2]上单调递减．
所以g(x)max＝g(?

2

a

)＝

4

a2e2

．
由

4

a2e2

≤1得：a≤?

2

e

，所以a＜-1．
3°当?

2

a

＜0，即a＞0时，显然在[0，2]上g^′（x）≥0，
函数g（x）在[0，2]上单调递增，且