Question

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，设P：当 0＜x＜ 1 2 时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩C R B（R为全集）．

Answer 1

（1）令x=-1，y=1，则由已知f（0）-f（1）=-1（-1+2+1） ∴f（0）=-2 （2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1） 又∵f（0）=-2 ∴f（x）=x 2 +x-2 （3）不等式f（x）+3＜2x+a即x 2 +x-2+3＜2x+a 也就是x 2 -x+1＜a．由于当 0＜x＜ 1 2 时， 3 4 ＜ x 2 -x+1＜1 ，又x 2 -x+1= (x- 1 2 ) 2 + 3 4 ＜a 恒成立， 故A={a|a≥1}，g（x）=x 2 +x-2-ax=x 2 +（1-a）x-2 对称轴x= a-1 2 ， 又g（x）在[-2，2]上是单调函数，故有 a-1 2 ≤-2，或 a-1 2 ≥2 ， ∴B={a|a≤-3，或a≥5}，C R B={a|-3＜a＜5} ∴A∩C R B={a|1≤a＜5}．