Question

已知函数f（x）=ex（x-a），a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若函数y=f(x)x在[1，+∞

已知函数f（x）=ex（x-a），a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若函数y=f(x)x在[1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）试问是否存在实数x0，使得函数f（x）图象上任意不同两点连线的斜率都不等于f（x0）？若存在求出x0的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=-1
当x＞-1时，f′（x）=（x+1）e^x＞0；当x＜-1时，f′（x）=（x+1）e^x＜0，
∴函数y=f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，
∴函数y=f（x）在x=-1时取得极小值-e^-1，但函数没有极大值；
（Ⅱ）y′＝

xf′(x)?f(x)

x2

=

xex(x?a+1)?ex(x?a)

x2

=

ex(x2?ax+a)

x2

，
由题意得x²-ax+a≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
即a（x-1）≤x²对x∈[1，+∞）恒成立，当x=1时不等式对a∈R恒成立，
当x≠1时，不等式化为a≤

x2

x?1

=

(x?1)2+2(x?1)+1

x?1

=（x-1）+

1

x?1

+2，
由于x∈（1，+∞），所以（x-1）+

1

x?1

+2≥2+2=4（当且仅当x=2时时对等号），
所以a（x-1）≤x²对x∈（1，+∞）恒成立的条件是a≤4，
综上得所求实数a的范围为a≤4；
（Ⅲ）假设存在x=x₀，使得对任意不同的x₁，x₂都有

f(x2)?f(x1)

x2?x1

≠f′（x₀），即
f（x₂）-f（x₀）?x₂≠f（x₁）-f（x₀）?x₁
令g（x）=f（x）-f′（x₀）?x
∵函数g（x）=f（x）-f′（x₀）?x的图象连续，且对任意不同的x₁，x₂有g（x₂）≠g（x₁），
∴g′（x）=f′（x）-g′（x₀）≤0（或≥0）对x∈R恒成立，
即存在x₀，使得f′（x₀）≥f′（x）（或f′（x₀）≤f′（x））对x∈R恒成立，
令h（x）=f′（x）=（x+1-a）?e^x，
令h′（x）=0得x=a-2，函数y=h（x）在（-∞，a-2）单调递减，在（a-2，+∞）单调递增，
∴函数y=h（x）在x=a-2取得最小值，
故存在x₀=a-2，使得f（x）的图象上任意不同两点连线的斜率都不等于f′（x₀）．