Question

△ABC中，若2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，求角B的最大值

△ABC中，若2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，求角B的最大值．

Answer 1

2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，由正弦定理可知，2ac=bc+ac，
即

2

b

＝

1

a

+

1

c

，∴

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差数列，令公差为d≥0，不妨设

1

a

＝

1

b

+d，

1

c

＝

1

b

?d，
∴a=

b

1+bd

，c=

b

1?bd

，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得b²=(

b

1+bd

)2+(

b

1?bd

)2-2(

b

1+bd

)(

b

1?bd

)cosB，
化简整理得

2

1?b2d2

cosB＝

2+2b2d2

1?b4d4

?1，
可得cosB=

1+b2d2

2

，
∵d≥0，∴b²d²≥0，
∴cosB=

1+b2d2

2

≤

1

2

．
∴0＜B≤

π

3

．
B的最大值为

π

3

．