Question

已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=-2，且f（x+π）=12f（x），当x∈[0，

已知函数f（x）在[0，+∞）上可导，其导函数记作f′（x），f（0）=-2，且f（x+π）=12f（x），当x∈[0，π）时，f′（x）?cos2x＞f（x）?sin2x-f′（x），若方程f（x）+knsecx=0在[0，+∞）上有n个解，则数列{nk2n}的前n项和为（　　）A．（n-1）?2n+1B．（n-1）?2n+1+2C．n?2n-1D．(2n?1)?3n+14

Answer 1

由于f（0）=-2，且f（x+π）=

1

2

f（x），
则f（π）=

1

2

f（0）=-1，f（2π）=

1

2

f(π)=-

1

2

，f（3π）=-

1

4

，
…，f（nπ）=-（

1

2

）^n-1．
由于当x∈[0，π）时，f′（x）?cos2x＞f（x）?sin2x-f′（x），
则有f′（x）（1+cos2x）-f（x）sin2x＞0，
即有2cosx（f′（x）cosx-f（x）sinx）＞0，则2cosx?（f（x）cosx）′＞0，
则有cosx＞0，（f（x）cosx）′＞0，f（x）cosx在（0，

π

2

）递增，
cosx＜0，（f（x）cosx）′＜0，f（x）cosx在（

π

2

，π）递减，
由于方程f（x）+k_nsecx=0在[0，+∞）上有n个解，
即有k_n=-f（x）cosx在[0，+∞）上有n个解，
则k₁=-f（0）cos0=2，k₂=-f（π）cosπ=-1，k₃=-f（2π）cos2π=

1

2

，k₄=-f（3π）cos3π=-

1

4

，
…，k_n=-f（（n-1）π）cos（n-1）π，
则有k_2n=（

1

2

）^n-1，即有

n

k2n

=n?2^n-1，
令S=1+2?2+3?2²+…+n?2^n-1，则2S=1?2+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ，
两式相减得，-S=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n?2ⁿ=

1?2n

1?2

-n?2ⁿ
则S=（n-1）?2ⁿ+1．
故选A．