Question

a,b为正数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证a2/x+b2/y>=（a+b）2/x+y

1.求证a2/x+b2/y>=（a+b）2/x+y，并指出等号成立的条件。 2.利用1的结论求函数f(x）=2/x+9/(1-2x)(x∈(0,1/2)) 其中：a2,b2,(a+b)2 的2均为平方 a2/x为一个分式

Answer 1

好古老的一道题啊，就我当年看到而言，它的证法是
1.(a^2/x+b^2/y)*(x+y)
=a^2+b^2+a^2(y/x)+b^2(x/y)
≥a^2+b^2+2√[a^2(y/x)*b^2(x/y)]
=a^2+b^2+2ab
=(a+b)^2
取等号的条件是a^2(y/x)=b^2(x/y)即y/x=b/a
∴(a^2/x+b^2/y)≥[(a+b)^2]/(x+y)
2.f(x)=2/x+9/(1-2x)
=4/2x+9/(1-2x)
≥[(2+3)^2]/(2x+1-2x)
=25
取得最小值时(1-2x)/x=3/2,即x=2/7
故f(x)min=f(2/7)=25