Question

已知函数f(x)满足f(1)=1/4,f(x)+f(y)=4f[(x+y)/2]*f[(x-y)/2],则f(-2011)=?要过程，请问周期是不是6？

Answer 1

你好：
令x=y=1,有：2f(1)=4*f(1)*f(0) f(0)=1/2
令y= -x 得到：f(x)+f(-x)=4*f(0)*f(x)=2f(x)
即是：f(x)=f(-x) 判断出是偶函数
令x=x+1 y=x-1
得到：f(x+1)+f(x-1)=4*f(x)*f(1)=f(x)
令上式中的x=x+1
得到：f(x+2)+f(x)=f(x+1)
两式相加化简得到：f(x+2)+f(x-1)=0
即是：f(x+2)= -f(x-1)=f(x-2)
再令这个式子的x=x+2
得到：f(x)=f(x+4)即是：周期为4
所以：f(-2011)=f(2011)=f(503*4-1)=f(-1)=f*(1)=1/4
回答完毕，谢谢！

Answer 2

f(x)+f(x)=4f(x)f(0)，所以f(0)=1/2
f(x)+f(-x)=2f(-x) 所以f(x)=f(-x),即偶函数
f(x+2)+f(x)=4f(x+1)f(1)=f(x+1)
所以f(x+1)=f(x)+f(x+2)=f(x)+f(x+1)+f(x+3).
所以f(x)+f(x+3)=0,
f(x)=-f(x+3)=-[-f(x+3+3)]=f(x+6) 所以周期为6
f(-2011)=f(-2011+6x335)=f(-1)
又f(x)为偶函数。所以f(-1)=f(1)=1/4