Question

函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),(x,y属于R),则f(2010)=?

Answer 1

由4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y）知x任意,y=1,得到
4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1), 而f(1)=1/4, 所以f(x)=f(x+1)+f(x-1)
再把上式的x换成x-1得到f(x-1)=f(x)+f(x-2)
上面两个式子两边相加得到f(x)+f(x-1)=f(x+1)+f(x-1)+f(x)+f(x-2)
从而f(x+1)+f(x-2)=0
从而f(x+1)=-f(x-2)
令t=x+1,得到f(t)=-f(t-3)
从而f(t)=-f(t-3)=-[-f(t-6)]=t(t-6)
从而f(x)是周其是6的函数。
因此f(2010)=f(335*6)=f(0).
再把已知等式中的x=1,y=0得到4f(1)f(0)=f(1)+f(1)
即f(0)=2f(1)=1/2
所以f(2010)=f(0)=1/2.

Answer 2

我觉得是根据积化和差公式想到的，其实这种题需要自己多做题而且能够灵活应用公式，才能构造出函数，这是常做题会形成的解题思维，答案不仅限于非要构造出函数，而是发散思维便于快速解题，才能领先于他人。