Question

已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2015)=

Answer 1

取x=1,y=0
代入4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)得
4f(1)f(0)=f(1)+f(1)=2f(1)
解得f(0)=1/2
则当x=1，y=1时，4f(1)f(1)=f(2)+f(0)解得f(2)=f(1)-f(0)=-1/4；
当x=2，y=1时，4f(2)f(1)=f(3)+f(1)解得f(3)=f(2)-f(1)=-1/2；
当x=3，y=1时，4f(3)f(1)=f(4)+f(2)解得f(4)=f(3)-f(2)=-1/4；
当x=4，y=1时，4f(4)f(1)=f(5)+f(1)解得f(5)=f(4)-f(3)=1/4；
当x=5，y=1时，4f(5)f(1)=f(6)+f(4)解得f(6)=f(5)-f(4)=1/2；
当x=6，y=1时，4f(6)f(1)=f(7)+f(5)解得f(7)=f(6)-f(5)=1/4；
。。。。。。。
6个一循环2015÷6=370余5
f(2015)=f(5)=1/4

Answer 2

已知函数f(x)满足：
f（1）=1/4，
4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y） （x，y∈R）
则f（2015）=_____
解析：∵函数f(x)满足：f(1)=1/4，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)（x，y∈R）
f(x+y)=4f(x)f(y)-f(x-y)
令x=1,y=0，代入得f(1)=4f(1)f(0)-f(1)==>f(0)=1/2
令x=1,y=1，代入得f(2)=4f(1)f(1)-f(0)==>f(2)=-1/4
令x=2,y=1，代入得f(3)=4f(2)f(1)-f(1)==>f(3)=-1/2
令x=3,y=1，代入得f(4)=4f(3)f(1)-f(2)==>f(4)=-1/4
令x=4,y=1，代入得f(5)=4f(4)f(1)-f(3)==>f(5)=1/4
令x=5,y=1，代入得f(6)=4f(5)f(1)-f(4)==>f(6)=1/2
令x=6,y=1，代入得f(7)=4f(6)f(1)-f(5)==>f(7)=1/4
f(8)=-1/4，f(9)=-1/2，f(10)=-1/4，f(11)=1/4，f(12)=1/2
可以猜想函数f(x)是以6为最小正周期的周期函数
∴f(2015)=f(5+335*6)=f(5)=1/4

证明：∵函数f(x)满足：f(1)=1/4，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)（x，y∈R）
f(x)=4f(x)f(1) =f(x+1)+f(x-1)
∴f(x)=f(x+1)+f(x-1)令x=x+1，代入得f(x+1)=f(x+2)+f(x)
∴f(x+2)=-f(x-1)
令x=x+1，代入得f(x+3)=-f(x)
令x=x+3，代入得f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
∴f(x)为周期为6的周期函数

Answer 3

把y代为1；那么f（x）=f（x+1）+ f(x-1)；所以就有个迭代式；会发现；
f（x）=f（x+1）+ f(x-1)=f（x+1+f（x）+f（x-2）》》》两边减去f（x）；所以f（x+1）=-f（x-1）；
所以f（x）=-f（x-2）=f（x-4）；刚好2015除4余1；
f(2015)=f（1）=1/4