Question

已知不等式（1/x）+（1/y）+m/（x+y）>=0对任意正实数x，y恒成立，则m最小值为

过程谢了

Answer 1

因为x、y都是正数，则：
(1/x)＋(1/y)＋m/(x＋y)≥0
m/(x＋y)≥－(1/x)－(1/y)
m≥－(x＋y)²/(xy)
设：M=(x＋y)²/(xy)
=(x/y)²＋(y/x)²＋2≥4
则：－(x＋y)²/(x＋y)的最大值是－4
则：m≥－4
所以m的最小值是－4

Answer 2

不等式（1/x）+（1/y）+m/（x+y）>=0
去分母，x²＋y²＋2xy＋mxy≥0
同除以y²，﹙x／y﹚²＋﹙m＋2﹚﹙x／y﹚＋1≥0
设y／x=X，X²＋﹙m＋2﹚X＋1≥0,﹙X＞0﹚
设Y=X²＋﹙m＋2﹚X＋1
❶函数与Y轴没有交点，﹙m＋2﹚²－4×1×1＜0，解之得－4＜m＜0
❷抛物线开口向上，对称轴在Y轴左侧，X=0时，Y≥0
即－﹙m＋2﹚／2≤0，所以m≥－2
综上所述－2≤m＜0