Question

紧急求助！！！！！！懂数学的达人请进！！！！！！麻烦数学达人帮忙再详细解说一遍一道选择题的参考解释

如题：已知正三棱锥P-ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为
（√2）/3，则正三棱锥P-ABC的体积为？（ ）

A .[(3√3)/8]*h³ B .[(2√3)/8]*h³ C .[√3)/8]*h³ D.[(3√3)/4]*h³

PS：该题答案为C项，参考解释为：设底面边长为a，连接CO交AB于点F，过点D作DE∥PO交CF于点E，连接BE，则∠BDE为PO与BD所成的角，依据PO⊥平面ABC，则DE⊥平面ABC，且COS∠BDE=（√2）/3，则在Rt△BED中，（D为侧棱PC中点）可知DE=h/2，BE=（√14）/2h，再在Rt△BEF中，BE²=EF²+FB²，由此可化简得a²=3/2h²，所以Vp-ABC=1/3*1/2*a*[（√3）/2]a*h
=[√3/12]a²h=（√3/8）h³

我的数学不好，麻烦数学达人再详细解释一遍该题的参考解释，特别是那些数据，不知道具体是怎么得来的，譬如“BE=（√14）/2h”是怎么算的？“BE²为什么等于EF²+FB²”“由此可化简得a²=3/2h²”这其中具体的过程是怎样的......谢谢( ⊙ o ⊙ )啊！！！！！！

Answer 1

因为为正三棱锥，那么高PO，O为CF的三等分点，D为中点，DE平行PO，那么在△POC中，DE为中位线，所以E为CO中点，∴CE=EO=OF
解答中说则∠BDE为PO与BD所成的角，那么ED：BD==（√2）/3。DE=0.5h。比一下就知道BD=[（3根号2）/4]h。用勾股定理求的BE=（√14）/4h（应该解答中算错了）。BF=0.5a CF=0.5根号3a ，CE=EO=OF ，那么FE=（根号3/3）a，用勾股定理求得BE。是一个a的表达式a²/3 - a²/4，上文又求的BE=（√14）/4h。那么√(a²/3 - a²/4)=BE=（√14）/4h ,两边平方整理就是a²=3/2h²，Vp-ABC=1/3*1/2*a*[（√3）/2]a*h
=[√3/12]a²h=（√3/8）h³

Answer 2

BE的长度是因为已知PO和BD所成角度
又因为DE和PO平行
DE和BD所成的角就等于PO和BD所成的角
由题目已知，PO与BD所成角的余弦值为（√2）/3
得COS∠BDE也是（√2）/3
知道了COS值，又因为D是中点，DE=1/2PO=1/2h
就能算出BE长度。
因为是正三棱柱，底面是等边三角形，
首先O为中点，连接CO的话，CO即是中线，那么CO的延长线必然平分AB（交予点F）
所以∠CFA=∠CFB=90°
由此三角形FEB中包含了一个直角∠EFB（也就是∠CFB）
所以BE²=EF²+FB²

Answer 3

早忘没了

Answer 4

111