Question

设向量组a1,a2……an线性相关，且a1不等于零 证明存在某个向量ak（2<k<m），使ak能由a1,a2......ak-1

设向量组a1,a2……am线性相关，且a1不等于零 证明存在某个向量ak（2<k<m），使ak能由a1,a2......ak-1线性表示,详细点谢谢！
不要把百度里那道题给粘贴过来，那道说的不是很详细吧，反正我看不懂...

Answer 1

向量组a1,a2……am线性相关，
存在λ1，λ2，。。。，λm不全为零，满足,
λ1a1+λ2a2+........+λmam=0 ................①
1）λ2，。。。，λm不全为零，
否则，λ2=。。。=λm=0，λ1≠0,代入①：
λ1a1=0, a1≠0，则λ1=0，矛盾。
2）λk≠0，（2≤k≤m），
由①式有：λkak=-(λ1a1+λ2a2+.....+...+λmam)
ak=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+.....+...+λmam)

ak能由a1,a2......am线性表示。

以上与你的题有点误差！
k<m的条件不一定能够满足的：
例如：a1=(1,0,0,............0,0)
a2=(0,1,0,............0,0)
.................................
a(m-1)=(0,0,0........,0,1)
am=(2,0,0...............0,0)
向量组a1,a2……am线性相关，且a1不等于零
只有a1或am能有其他向量线性表示。

Answer 2

证明；因向量组a1,a2……am线性相关，由定义，存在不全为零的数k1,k2,.......,km,使 k1a1+k2a2+.......+kmam=0 如果k2,......,km全为零，那么k1a1=0,但k1不为零，故a1=0，矛盾。故存在x（2＜=x<=m),kx不为零，这样ax能由其它变量线性表示。 2＜x<m不行

Answer 3

证明: 由α1,α2,···,αm线性相关知
存在不全为零的数 t1,...,tm 使得 t1α1+t2α2+···+tmαm=0

设tk为tm,...,t1(注意是反序)中第一个不等于0的数
因为α1≠0, 所以 2<=k<=m
-- 这是因为k=1时有 t1α1=0. 由于t1≠0, 所以 α1=0, 矛盾.

所以有 t1α1+t2α2+···+tkαk=0
所以 αk=(-1/tk)(t1α1+t2α2+···+tk-1αk-1)
命题得证.