Question

急求高中立体几何：在空间四边形ABCD中，AC=BD=6,AB=CD=7 AD=BC=8，求AC与BD所成角的余弦值。

答案是5/12，刚学几何没多久，这题目死活做不出，求详细解答，网上搜的回答要么答案错，要么方法没学过，有图就更好了，谢谢！！

Answer 1

本来用空间向量解题是比较方便的，而用一般立体几何法较麻烦，既然未学过向量，那就不妨试用一般方法来解，

如图所示，E、F、G、H、I、J分别是AD、AB、BC、AC、CD、BD的中点，先连结FG、GI、IE、EF、EG、FI，EG∩FI=O，

∵EF、GI分别是△ABD、△CBD中位线，

∴EF//BD，GI//BD，EF=BD/2，GI=BD/2，

∴EF//GI，EF=GI，

∴四边形EFGI是平行四边形，

同理EG//EI，EG=EI=AC/2，

∵AC=BD=8，

∴FG=EF=4，

∴四边形EFGI是菱形，

∴EG⊥FI，

同理可证四边形FHJI，四边形GHEJ也是菱形，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，O点是三个菱形的公共交点，

∵GO⊥FI，GO⊥HJ，FI∩HJ=O。

∴GO⊥平面FJIH，

GF=GI=BD/2=3，GJ=GH=CD/2=7/2，FH=HI=IJ=FJ=BC/2=4，

设OH=JO=x,OI=OF=y,

根据勾股定理，GF^2-OF^2=OG^2.

GH^2-OH^2=OG^2,

3^2-y^2=(7/2)^2-x^2,

x^2-y^2=13/4,(1)

IO^2+OH^2=IH^2,

x^2+y^2=16,(2),

(1)+(2)式,x=√154/4。

y=√102/4，

IF=2OF=√102/2，

在△GIF中，根据余弦定理，

cos<IGF=(GI^2+GF^2-IF^2)/(2*GI*GF)

=(9+9-51/2)/(2*3*3)=-5/12,

因二直线夹角不大于90度，故取正值，

∴cos<IGF=5/12，

∵FG//AC，IG//BD，

∴<FGI的补角就是AC和BD所成角，

∴AC和BD所成角余弦值为5/12。

Answer 2

构建向量AC、BD、AD、DC。
AC=AD+DC
AC*BD
=(AD+DC)*BD
=AD*BD+DC*BD
=│AD││BD│cosADB-│DC││BD│cosBDC
这里因为向量DC与BD夹角为钝角，所以取负号。
由余弦定理可得cosADB=51/96，cosBDC=21/84。。。将相关数据代入上式
得： AC*BD=15
cos<AC,BD>=AC*BD/│AC││BD│=15/36=5/12
向量符号不知怎么打，以上全是向量。。。

Answer 3

请自己算下

Answer 4

帮不了你了 我好多年没有学几何了，我都忘了

Answer 5

向量啊

追问

?怎么用向量做

追答

学了空间向量没有？？

追问

没有、、就学了空间直线与平面。。

追答

画图，要不能你加我的群，很多人在QQ群234974841