Question

在等腰三角形ABC中，点D,E分别是两腰AC,BC上的点，连AE,BD相交于点O，∠1=∠2；（1）求证OD=OE（2）求证四

边形ABED是等腰梯形；（3）若AB=3DE，△DCE的面积是2，求四边形ABED的面积。

Answer 1

解：，1，在△OAB中，因为∠1=∠2，所以△OAB是等腰三角形，OA=OB。因为△CAB是等腰三角形，∠CAB=∠CBA,则∠CAE=∠CBD,， 在△AEB和△BDA中，∠EAB=∠DBA,,AB=AB,∠EBA=∠DAB，所以△ABE≌△BAD，所以AD=BE,,因为AC=BC，所以DE∥AB，所以∠OED=∠EAB=∠1 ∠ODE=∠DBA,=∠2，因为∠1=∠2，所以∠OED=∠ODE，所以OD=OE。 2，∵DE∥AB，AD=BE，∴四边形ABED是等腰梯形。 3，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴s△CDE/s△CAB=(DE/AB)²，∵DE/AB=1/3，∴s△CDE/s△CAB=1/9，由于s△CDE=2，∴s△CAB=18，∴s四边形DEAB=s△CAB-s△CDE=18-2=16.

Answer 2

解：1，在△OAB中，∵∠1=∠2，
∴△OAB是等腰三角形，OA=OB。
∵△CAB是等腰三角形，∠CAB=∠CBA,则∠CAE=∠CBD,，
在△AEB和△BDA中，
∠EAB=∠DBA,,
AB=AB,
∠EBA=∠DAB，
∴△ABE≌△BAD
∴AD=BE,
,∵AC=BC，
∴DE∥AB，
∴∠OED=∠EAB=∠1 ∠ODE=∠DBA,=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠OED=∠ODE，
∴OD=OE。
2，∵DE∥AB，AD=BE，
∴四边形ABED是等腰梯形。
3，∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴S△CDE/S△CAB=(DE/AB)²，
∵DE/AB=1/3，
∴S△CDE/S△CAB=1/9，
由于S△CDE=2，
∴S△CAB=18，
∴S四边形DEAB=S△CAB-S△CDE=18-2=16.

Answer 3

在△ABD和△BAE中，因为∠1=∠2，∠DAB=∠ABE, AB 是公共边，所以△ABD和△BAE为全等三角形。故，可以推出：边DA=边EB,边DB=边EA;从而证明出（2）四边形ABED是等腰梯形。
在△ADE和△BED中，因为∠DAB=∠ABE, ∠1=∠2，所以得出：∠DAE=∠EBD,DE 是公共边,
因为 ∠AOD和∠BOE是对顶角，所以 ∠AOD=∠BOE；所以在△ADE和△BED为全等三角形。
故，从而证明出：（1）边OD=边OE。
在△DCE和△ACB中,因为△DCE和△ACB是相似三角形，所以两三角形面积比为边长比值的平方，所以得出△ACB面积=△DCE的面积*9=18，得出（3）四边形ABED的面积为=18-2=16。