Question

设f（x）=3ax^2+2bx+c，若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0， 证明f（x）的图像与x轴总有两个不同的公共点

Answer 1

证：
f(0)>0 c>0
f(1)>0 3a+2b+c>0
a+b+c+(2a+b)>0 a+b+c=0代入，得
2a+b>0 a>-b/2
a+b+c=0 c=-(a+b)>0 a+b<0 a<-b
-b>-b/2 b/2<0 b<0 a>-b/2>0
a-c=a-[-(a+b)]=2a-b>0
a-c>0
综上，得a>0 c>0 b<0 b=-(a+c) a-c>0
对于方程3ax²+2bx+c=0
判别式△=(2b)²-12ac=4b²-12ac
=4(b²-4ac)
=4[(a+c)²-4ac]
=4(a²+2ac+c²-4ac)
=4(a-c)²>0
判别式>0，函数f(x)图像与x轴总有两个不同的公共点。

Answer 2

证明：
f(1)>0 代入得 3a+2b+c>0
f(0)>0 代入得 c>0
又 a+b+c=0 可得a+b=-c
所以 3a+2b+c=a+2(a+b)+c=a-2c+c>0
可得 a>c>0
f(x)=3ax^2+2bx+c=3ax^2-2(a+c)x+c
该函数对应的二元一次方程的根的判别式为4(a+c)^2-12ac=4a^2-4ac+4c^2=4(a-c)^2+4ac
因为a>c>0
所以 4(a-c)^2+4ac>0 可知f(x)与x轴有两个不同交点