Question

∫∫(x^2+y^2)dS，∑为面z=√(x^2+y^2 )及平面z=1所围成的立体的表面。

∫∫(x^2+y^2)dS，∑为面z=√(x^2+y^2 )及平面z=1所围成的立体的表面。

如图。
谢谢。

Answer 1

∑有两部分构成，∑1为锥面，∑2为z=1这个平面
先算∑1：方程为z=√(x^2+y^2 )
dz/dx=x/√(x^2+y^2 )，dz/dy=y/√(x^2+y^2 )
dS=√(1+(dz/dx)²+(dz/dy)²)=√2dxdy
∫∫ (x²+y²) dS
=√2∫∫ (x²+y²) dxdy
=√2∫∫ r²*r drdθ
=√2∫[0→2π]dθ∫[0→1] r³ dr
=√2π/2

先算∑2：方程为z=1，dS=dxdy
∫∫ (x²+y²) dS
=∫∫ (x²+y²) dxdy
=∫∫ r²*r drdθ
=∫[0→2π]dθ∫[0→1] r³ dr
=π/2

最后结果为：√2π/2+π/2=π/2(√2+1)