Question

求微分方程y''＋y'^2＋1=0的通解。 答案给的是设y'为p,则y''为p' 但是y''不

求微分方程y''＋y'^2＋1=0的通解。
答案给的是设y'为p,则y''为p'
但是y''不应该是p*dp/dy吗？

Answer 1

没有问题，y"就是y求导2次的结果。

设y'=p

y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy

原式变为

pdp/dy+p^2+1=0

pdp/(p^2+1)=-dy

1/2ln(p^2+1)=-y+C1

p^2+1=C2e^(-2y)

p^2=C2e^(-2y)-1

p=±√[C2e^(-2y)-1]=dy/dx

微分方程

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。

不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

Answer 2

没有问题，y"就是y求导2次的结果

Answer 3

设y'=p
y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
原式变为
pdp/dy+p^2+1=0
pdp/(p^2+1)=-dy
1/2ln(p^2+1)=-y+C1
p^2+1=C2e^(-2y)
p^2=C2e^(-2y)-1
p=±√[C2e^(-2y)-1]=dy/dx
只能这样子了

追问

p化成最后一步我都看懂了，但是为什么y''=p'我还是不懂

追答

我写的y'=pdp/dy

追问

是这样的。设y'=p y''=pdp/dy 这个我知道是怎么来的，是我对答案的时候书上说y''就是p',我不知道这是怎么算的，而且应该不是书印错了，因为我看了两本答案都是这么写的。。

追答

数上这样写不是害人吗？