Question

某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A产品...

某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A产品需甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B产品需甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元。
⑴按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？
⑵设其中A产品生产x件，总利润为y元，写出函数关系式，并说明⑴中哪种方案所获利润最大，最大利润为多少？

求解

Answer 1

解[1]：设安排生产A种产品x件，B种产品(50-x)件；x件A种产品需要甲种原料9x千克，乙种原料3x千克，可获利700x元；(50-x)件B种产品需要甲种原料4(50-x)千克，乙种原料10(50-x)千克，可获利1200(50-x)元；根据题意，可列不等式组：
9x+4(50-x)≤360 (1)
3x+10(50-x)≤290 (2)
解不等式(1)得 x≤32
解不等式(2)得 x≥30
不等式组的解集为 30≤x≤32
当x=30时，50-x=20
当x=31时，50-x=19
当x=32时，50-x=18
方案一：安排生产A种产品30件，B种产品20件
方案二：安排生产A种产品31件，B种产品19件
方案三：安排生产A种产品32件，B种产品18件

[2]：根据题意
y=700x+1200(50-x)
=700x+60000-1200x
=-500x+60000
y=-500x+60000
当x取最小值时，y有最大值，x的最小值为x=30
当x=30时，y=-500×30+60000=45000
方案一所获利润最大，最大的利润为45000元。

Answer 2

这是一道不等式组的题目，关键语句在第一句“某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg”，即不等关系是：生产A产品和B产品所用的甲种原料之和小于或等于360，生产A产品和B产品所用的乙种原料之和小于或等于290
解：（1）设安排生产A种产品x件，则安排生产B种产品(50-x)件；根据题意得
9x+4(50-x)≤360
3x+10(50-x)≤290
解这个不等式组得 30≤x≤32
当x=30时，50-x=20
当x=31时，50-x=19
当x=32时，50-x=18
方案一：安排生产A种产品30件，B种产品20件
方案二：安排生产A种产品31件，B种产品19件
方案三：安排生产A种产品32件，B种产品18件

（2）y=700x+1200(50-x)
化简得y=-500x+60000
因为k<0，y随x的增大而减小，当x=30时，y=-500×30+60000=45000
方案一所获利润最大，最大的利润为45000元。

Answer 3

（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为（50-x）件，根据题意，得

9x+4(50-x)≤360
3x+10(50-x)≤290

解得30≤x≤32．因为x是自然数，所以x只能取30，31，32．
所以按要求可设计出三种生产方案：
方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；
方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；
方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；

（2）设生产A种产品x件，则生产B种产品（50-x）件，由题意，得
y=700x+1200（50-x）=-500x+60000
因为a＜0，由一次函数的性质知，y随x的增大而减小．
因此，在30≤x≤32的范围内，
因为x=30时在的范围内，
所以当x=30时，y取最大值，且y最大值=45000．