Question

设 矩阵A=(k111,1k11,11k1,111k)且R(A)=3,求k A初等行变换怎么化成行

设 矩阵A=(k111,1k11,11k1,111k)且R(A)=3,求k
A初等行变换怎么化成行最简，求过程

Answer 1

A=
k 1 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1
1 1 1 k

每一行都加到第1行，第3行减去第4行，第2行减去第3行
～
k+3 k+3 k+3 k+3
0 k-1 1-k 0
0 0 k-1 1-k
1 1 1 k 第1行减去第4行*(k+3)，交换行次序
～
1 1 1 k
0 1-k k-1 0
0 0 1-k k-1
0 0 0 -k^2-2k+3
矩阵的秩R(A)=3，即有1行可以全部为0

显然第1行不可能全部为0，
而若第2或第3行为0，则k=1，那么2，3，4行均全部为0，秩R(A)不等于3

所以得到第4行为0，
即-k^2-2k+3=0，解得k=1或 -3
而k=1舍去，
所以解得k= -3，此时R(A)=3

Answer 2