Question

设定义在R上的函数f(x)=1/丨x-2丨,x≠2，1x=2,若关于x的方程

设定义在R上的函数f(x)={1/|x-2| （x≠2）;1(x=2)。若关于x的方程f(x)^2+af(x)+b=3有三个不同实数解x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则下列说法中正确的是.
A：a+b=0
B:x1+x3>2x2
C:x1+x3=5
D:x1^2+x2^2+x3^2=14
请给出详细过程并说明理由。（不要用特殊值法！！）
（五三P19BT2）

Answer 1

画出f(x)的图象：是以x轴和直线x=2为渐近线，且关于直线x=2对称、位于x轴上方的两支双曲线，再加上点(2，1)。(直接作或利用图象变换作图)
令f(x)=t，则由方程f(x)^2+af(x)+b=3有三个不同实数解x1，x2，x3，且x1<x2<x3，结合图象知
t²+at+b=3有两个相等实数解t1=t2=1，从而可得x1=1，x2=2，x3=3，
A：t=1满足t²+at+b=3，得a+b=2，所以A错；
B：x1+x3=4=2x2，所以B错，C也错；
D：x1^2+x2^2+x3^2= 1²+2²+3²=14，所以D正确。