Question

高一数学：已知数列｛an｝和｛bn｝满足a1=2，a2=4，bn=a（n+1）-an，b（n+1）=2bn+2

.(1)求证数列（bn+2)是等比数列（要指出首项与公比）（2）求数列（an)的通项公式
步骤最好详细点

Answer 1

(1)
证：
b(n+1)=2bn+2
b(n+1)+2=2bn+4=2(bn+2)
[b(n+1)+2]/(bn+2)=2，为定值。
b1+2=a2-a1+2=4-2+2=4
数列{bn +2}是以4为首项，2为公比的等比数列。
(2)
解：
bn +2=4×2^(n-1)=2^(n+1)
bn=2^(n+1) -2
a(n+1)-an=2^(n+1) -2
an-a(n-1)=2^n -2
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-1) -2
…………
a2-a1=2^2 -2
累加
an-a1=[2^2+2^3+...+2^n) -2(n-1)=4×[2^(n-1) -1]/(2-1) -2(n-1)=2^(n+1) -2n -2
an=a1+2^(n+1)-2n -2=2+2^(n+1) -2n-2=2^(n+1) -2n
n=1时，a1=2^2 -2=2 n=2时，a2=2^3 -4=4，同样满足。(这步验证一定要写)
数列{an}的通项公式为an=2^(n+1) -2n。

^表示指数。

Answer 2

b（n+1）=2bn+2 b（n+1）+2=2bn+4=2（bn+2） bn+2是首项4-2+2=4公比为2等比数列
bn+2=4*2^(n-1)=2*(n+1) bn=2*(n+1)-2
an-a(n-1)=2*n-2
a(n-1)-a(n-2)=2*(n-1)-2
.....
a2-a1=2^2-2
an-a1=4(2^(n-1)-1)-2(n-1)
an=2^(n+1)-4-2n+2+2=2^(n+1)-2n

Answer 3

（1）b1+2=a2-a1+2=4-2+2=4
b（n+1）=2bn+2
所以b（n+1） +2 =2bn+2 + 2= 2(bn+2)
所以bn + 2是首项为4，公比为2的等比数列

(2)由（1）知 bn+2=4*2^(n-1)=2^(n+1)
所以bn=2^(n+1) - 2
所以a（n+1）-an=2^(n+1) - 2
a2-a1=2^2-2
a3-a2-2^3-2
...
a(n+1)-an=2^(n+1)-2
上边n个式子相加得到
a(n+1)-a1=2^2+2^3+...+2^(n+1)-2n
=2^(n+2)-4-2n
a(n+1)=2^(n+2)-4-2n+a1
=2^(n+2)-4-2n+2
=2^(n+2)-2(n+1)
所以an=2^(n+1)-2n

Answer 4

同意2楼