Question

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2． （Ⅰ）求证：C1D

Answer 1

（Ⅰ）求证：C1D∥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-A1C1-A的余弦值
（Ⅰ）证明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，
又CC1⊄面ABB1A1，所以CC1∥平面ABB1A1，ABCD是正方形，所以CD∥AB，
又CD⊄面ABB1A1，所以CD∥平面ABB1A1，
所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1，
所以C1D∥平面ABB1A1．
（Ⅱ）解：ABCD是正方形，AD⊥CD，
因为A1D⊥平面ABCD，
所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，．
在△ADA1中，由已知可得A1D= 3 ，
所以D(0，0，0)，A1(0，0， 3 )，A(1，0，0)，C1(-1，1， 3 )，B1(0，1， 3 )，D1(-1，0， 3 )，B(1，1，0)， BD1 =(-2，-1， 3 )，
因为A1D⊥平面ABCD，
所以A1D⊥平面A1B1C1D1，A1D⊥B1D1，
又B1D1⊥A1C1，
所以B1D1⊥平面A1C1D，
所以平面A1C1D的一个法向量为 n =（1，1，0），
设 BD1 与n所成的角为β，
则cosβ= n • BD1 | n || BD1 | =-3 2 8 =-3 4
所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为3 4 ．
（Ⅲ）解：设平面A1C1A的法向量为 m =（a，b，c），
则 m • A1C1 =0， m • A1A =0，
所以-a+b=0，a- 3 c=0，
令c= 3 ，可得 m =(3，3， 3 )，
设二面角D-A1C1-A的大小为α，
则cosα= m • n | m || n | =6 2 21 = 42 7 ．
所以二面角D-A1C1-A的余弦值为 42 7 ．