Question

在△ABC中，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，只求第三问。要求详细。

在△ABC中，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，以DE为折线，将△ADE翻折，设所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积为y．
（1）如图（甲），若∠C=90°，AB=10，BC=6，AD/AB=1/3
则y的值为8/3
（2）如图（乙），若AB=AC=10，BC=12，D为AB中点，则y的值为12
（3）若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x．
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值？若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

是不是这个图?是的话，这样做的   

解：（1）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∴S△ABC=1 2 ×6×8=24，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE S△ABC =(AD AB )2，
∴S△ADE 24 =1 9 ，
∵S△ADE=8 3 ，
∴y=8 3 ；

（2）∵AB=AC=10，BC=12，
∴BC边上的高为8，
∴S△ABC=1 2 ×12×8=48，
∵D为AB的中点，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，AD AB =1 2 ，
∴S△ADE S△ABC =(AD AB )2，
∴S△ADE 48 =1 4 ，
∴S△ADE=12，
∴y=12；
（3）如图，作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，

∵∠B=30°，AB=10，BC=12，
∴AH=5，S△ABC=1 2 BC•AH=30．
当点A′落在BC上时，点D是AB的中点，即x=5．
故分以下两种情况讨论：
①当0＜x≤5时，如图，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴S△ADE S△ABC =(AD AB )2=(x 10 )2=x2 100 ．
∴S△A′DE=S△ADE=x2 100 ×30=3 10 x2．即y=3 10 x2．
∴当x=5时，y最大=3 10 ×52=15 2 ．
②当5＜x＜10时，如上图，设DA′、EA′分别交BC于M、N．
由折叠知，△A′DE≌△ADE，
∴DA′=DA=x，∠1=∠2．
∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3．
∴∠B=∠3．
∴DM=DB=10-x．
∴MA′=x-（10-x）=2x-10．
由①同理可得S△DA′E=3 10 x2．又△MA′N∽△DA′E，
∴S△MA′N S△DA′E =(2x-10 x )2．
∴S△MA′N=3 10 x2•(2x-10 x )2=6 5 (x-5)2．
∴y=S△DA'E-S△MA'N=-9 10 x2+12x-30=-9 10 (x-20 3 )2+10．
∵二次项系数-9 10 ＜0，且当x=20 3 时，满足5＜x＜10，
∴y最大=10．
综上所述，当x=20 3 时，y值最大，最大值是10．