Question

一道高中数学题（有加分）

题目在图片中

这道题很简单的，唯一的疑惑：
第二问我算出n=12时 Tn<100 那麼应该第12年年初更换机床咯？n=11时Tn>100的应该不用换，但为何答案上说是第11年年初换呢？
请大家赐教……谢谢！

Answer 1

解：
(1)
1~6年成等差数列，an=250-30(n-1)=280-30n
第6年末为280-30×6=100万元。
从第7年开始，成等比数列，an=100×(50%)^(n-6)=6400/2ⁿ
数列{an}的通项公式为
an=280-3n (1≤n≤6)
6400/2ⁿ (n≥7)
(2)
前6年：T6=S6/6=[6×280-30(1+2+...+6)]/6=175>100，即前6年不用更换机床。
超过6年：
Tn=Sn/n=[6400×(1/2^7+1/2^8+...+1/2^n)+175×6]/n≤100
6400×(1/128)×[1-1/2^(n-6)]/(1-1/2) +1050≤100n
整理，得
100×(1-64/2ⁿ) +1050≤100n
11.5-n≤64/2ⁿ
n≥11
即第12年初更换机床，你是对的。

就是用逐项结果相加验证，也是第12年初更换：
[1050(前6年总和)+50+25+12.5+6.25+3.125]/11=104.26>100，就是说前11年均仍>100万元。

Answer 2

(1)an=250-30(n-1) (n∈{1,2,3,4,5,6})
An=50*(1/2)^(n-1) (n∈{7,8,……})

(2)
初 N an Sn Tn=Sn/n
0 1 250 250 250
1 2 220 470 235
2 3 190 660 220
3 4 160 820 205
4 5 130 950 190
5 6 100 1050 175
6 7 50 1100 157.14
7 8 25 1125 140.63
8 9 12.5 1137.5 126.39
9 10 6.25 1143.75 114.38
10 11 3.125 1146.875 104.261
11 12 1.5625 1148.4375 95.7031

由上表可以看出
∵题意规定第一年为由第0年初到第1年初
∴表中第11年完后Tn=104.261万元，进入第12年
而第12年是由第11年初到第12年初，预计过几个月后，就会Tn<100
∴应该在第11年初更换A型车床

Answer 3

因为12年初换的话就已经Tn<100了！