Question

已知：如图所示，ABCD是正方形，过B作BF∥AC，E是BF上一点，四边形AEFC是菱形，试说明：∠FCA＝5∠F。

已知：如图所示，ABCD是正方形，过B作BF∥AC，E是BF上一点，四边形AEFC是菱形，试说明：∠FCA＝5∠F。

Answer 1

解：连接BD与AC相交于点O,过A作AG平行OB与FB的延长线交于点G
因为BF平行AC
所以AGBO是平行四边形
角F+角FCA=180度
因为ABCD是正方形
所以AC=BD=2OB
角AOB=90度
所以AGBO是矩形
所以角AGE=90度
AG=OB
因为AEFC是菱形
所以AE=AC
所以AG=1/2AE
所以角AEG=30度（在直角三角形中，一直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度）
AE平行CF
所以角AEG=角F
所以角F=30度
所以角FCA=180-角F=150度
所以角FCA=5角F

Answer 2

证明：连结BD交AC于O，作EH垂直于AC垂足为H。
因为。 四边形ABCD是正方形，
所以。 AC=BD，且AC与BD互相垂直平分，
因为。 四边形AEFC是菱形，
所以。 BF平行于AC，AE=AC，
又因为。 BD垂直于AC，EH垂直于AC，
所以。 EH=BO=2分之1BD，
因为。 AC=BD，AC=AE，
所以。 EH=2分之1AE，
所以。 角EAH=30度，
因为。 四边形AEFC是菱形，
所以。 角F=角EAH=30度，角ACF=180度一角F=150度，
所以。 角ACF=5角F。