Question

若实数x，y满足x^2+y^2+xy=1，则x+y的最大值是多少？

Answer 1

解
换元，可设：
x=a+b,
y=a-b (a,b∈R)
则x+y=2a.且条件等式可化为：
(a+b)²+(a-b)²+(a+b)(a-b)=1
3a²+b²=1
∴1-3a²=b²≥0
即：a²≤1/3
∴(2a)²≤4/3
∴-(2√3)/3≤2a≤(2√3)/3
即：-(2√3)/3≤x+y≤(2√3)/3
∴ (x+y)max=(2√3)/3

Answer 2

令a=x+y
y=a-x
则x²+a²-2ax+x²+ax-x²=1
x²-ax+(a²-1)=0
x是实数则判别式△>=0
a²-4a²+4>=0
a²<=4/3
-2√3/3<=a<=2√3/3
所以最大值是2√3/3

Answer 3

三角换元法，根据三角函数的有界性求出范围
x^2+y^2+xy=(x+y/2)^2+(3/4)*y^2=1
令x+y/2=cosθ ,(√ 3/2)y=sinθ
∴x+y=cosθ+(√ 3/3)sinθ=(2√3/3)sin(θ+π/3),
∴(x+y)max=2√3/3