Question

如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（2013威海）（9分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值； （3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为__________．

Answer 1

此题关注二次函数的对称性！！！
A ,B关于对称轴x=2对称 又AB=2 所以A（1，0）B(3,0)
可根据交点式求出函数表达式
周长=AP+AC+PC 其中AC为定值，PA=PB 所以连接BC交对称轴即为P点 而周长=AC+BC
菱形要从两个角度考察
1、AB∥DE DE=2易得 考察AD是否为2
2、AB⊥DE 利用对角线相互垂直平分来判断 对称轴x=2垂直平分AB 则DE在对称轴上且被AB平分

Answer 2

嗯我错了,重新写
(1)y=x²+bx+c中a=1
设x=2和x轴交於M(2,0),根据对称性可知AM=BM=1
∴A(1,0),B(3,0)
∴y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3
C(0,3)
(2)连接BC,则BC和对称轴交点为所求的P
周长=AC+AP+PC=AC+BC
勾股定理得AC=√10,BC=3√2,∴最小值为√10+3√2
(3)若AB为菱形的一边,则易证E(2,√3)
将直线AE向右平移2单位得D(4,√3)
但此时D不在抛物线上,∴AB不能为菱形的一边
若AB是菱形的对角线,则M是对角线交点
∴D(2,-1),E(2,1)满足题意

Answer 3