Question

设函数f(x)=1/3x^3-a/2x^2+bx+c,,其中a>0,曲线y=f(x)在点P（0，f(0)）处的切线方程为y=1。

（1）设曲线y=f(x)在点（x1,f(x1))及（x2,f(x2))处的切线都过点（0，2）证明：当x1不等于x2时，f’(x1）不等于f’(x2)
(2)若过点（0，2）可做曲线y=f(x)的三条不同的切线，求a的取值范围
我知道网上有这题，但是看不懂，所以各位高手不要那个了--
求高手讲解下，越细越好，最好说下思路

Answer 1

可惜不能传照片，我等级不够，就写下吧，两个问号都在一个问号下求解，要是画图解释就很容易懂了，不管咋样你先看一下吧

f'(x)=x^2-aX+b
f(0)=c=1(解释一下:因为在点（0，c）处切线斜率是0，即是平行线，所以对应的纵坐标就是1)
f'(0)=b=0

所以 f(x)=1/3X^3-a/2X^2+1

f'(x)=X^2-aX

f(x1)=1/3X1^3-a/2X1^2+1

f(x2)=1/3X2^3-a/2X2^2+1

f'(x1)=X1^2-aX1

f'(x2)=X2^2-aX2

根据切线定义，切点导数是该点斜率

所以f'(x1)=(f(x1)-f(0))/(X1-0) 　 　
f'(x2)=(f(x2)-f(0))/(X2-0)　 　　

整理得：2/3X1^3-a/2X1^2+1=0 　①
2/3X2^3-a/2X2^2+1=0　　　　②
观察上面①②式，可以发现，X1，X2是方程2/3X^3-a/2X^2+1=0 的两个解（这个判断很关键，下
面都是围绕这个展开的）

所以再设一个函数为个g(x)=2/3X^3-a/2X^2+1

g'(x)=2X^2-aX=(2X-a)X,另g'(x)>0,且a>0,解得 X>a/2 或X<0 ,另g'(x)<0 的 0<X<a/2

同样根据切线定义，g(x)在区间（-&,0)是增函数，在（0，a/2）上是减函数，在（a/2，+&）为增函数

并且函数在X=0和X=a/2处有极值点，且X=0处为极大值，在X=a/2为极小值

又因为g(0)=1,所以在区间（-&,0)上一定与X轴有个交点，即一个根为X1<0

分析另一根的时候请看下面的分析

因为函数在X=0和X=a/2处有极值点，且X=0处为极大值，在X=a/2为极小值

此极小值在X轴上或者在X轴下方才能保证此方程至少有两个解。（因为之前说了次方程有两个根）

所以当方程有两个解得时候即g(a/2)=0（极小值与X轴相切）,即a=2*3^1/3 此时 X2=a/2

所以 f'(x1)-f'(x2)=(X1-X2)(X1+X2-a)

因为 x1不等于x2，所以X1-X2不等于0，又因为X1<0,X2=a/2 所以将不等式相加得X1+X2<a/2 ③

将③不等式两边同时减去a得，X1+X2-a＜-a/2<0不等于零

所以f'(x1)-f'(x2)不等于0

即f'(x1)与f'(x2)不相等

若所以当方程有三个解的时候(这种情况就是下一个问号的演变解释)

即g(a/2)<0得，-2*3^1/3<a<2*3^1/3,因为0＜a,所以0<a<2*3^1/3（这个就是下一问的结果）

此时，0<X2<2/a,X3>2/a ,另外X1<0,跟据上边求不等式的方法可以求得X1+X2-a或者X1+X3-a或者X2+X3-a任何一个都不等于0，

因此即f'(x1)与f'(x2)不相等，到此求得的两种情况证明了第一个问。