Question

证明sin(x^2) 是连续的，有界，但不是一致连续。

Answer 1

证明：
连续
易知函数y=sin(x²)的定义域为R，因此：
∀x∈R，当△x是以x0为领域的微小变量时，因变量的增量为：
△y
=sin[(x+△x)²] - sin(x²)
=-2cos{[(x+△x)²+x²]/2}·sin{[(x+△x)²-x²]/2}
=-2cos{[x²+△x²+2x△x+x²]/2}·sin{[x²+△x²+2x△x-x²]/2}
=-2cos{[2x²+△x²+2x△x]/2}·sin{[△x²+2x△x]/2}
显然，当△x→0时，(△x²+2x△x)/2 →0，即：
lim(△x→0) △y
=lim(△x→0) -2cosx²·sin0
=0
因此，原函数在定义域R中连续

考察函数y=sinx可知，该函数有界，同理，

函数y=sin(x²)有界，且：
|sin(x²)|≤1

一致连续
函数y=sin(x²)的一阶导数：

y'=2xcos(x²)
显然，其一阶函数y'=2xcos(x²)在R上是无界函数，因此函数y=sin(x²)在R上非一致连续

Answer 2

2) ∈(-∞,+∞),有
　 　|x1 - x2| = sqrt(2kπ+π/2) - sqrt(2kπ)
= (π/2)/[sqrt(2kπ+π/2) + sqrt(2kπ)]
　 　< (π/2)/[2*sqrt(2kπ)] =……< δ,
但
　 　|sin[(x1)^2] - sin[(x2)^2]| = |sin(2k π) - sin (2kπ+π/2)| = 1 > ε0,
此即证得f(x)=sin(x^2)在(‐∞,+∞)上是非一致连续.

追问

现在有事，我等下看看