Question

如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°

如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°。
（1）求证：AD=BD；
（2）E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；
（3）当BD=2时，AC的长为 ______（直接填出结果，不要求写过程）

Answer 1

1、证明：∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠CAB=∠CBA=45°
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠DAB=∠DBA=30°
∴AD=BD
2、在△ACD和△BCD中
AD=BD
CA=CB
CD=CD
∴△ACD≌△BCD
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15° +45°=60°
过点C作CF⊥AE于点F，则：
∵CE=CA
∴AF=EF
∠DCF=90°-∠CDE=30°
∴CD=2DF
∴AD+CD=AD+2DF
=AF+DF
=EF+DF
=DE
3、AC=√6

Answer 2

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°=∠BDE，
即DE平分∠BDC．
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC
，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．