Question

在等腰直角三角形中，∠abc=90度，点P是底边ac上一动点，mn分别是ab、bc的中点，若pm+pn的最小值为2，

求三角形abc周长
说理要详细简单

Answer 1

因为三角形ABC是等腰直角三角形，且M，N分别为两直角边的中点，所以当P 为AC中点时，PM+PN取得最小值。所以PM=PN=1，因此AB=BC=2，AC=2根号2。
于是可得到三角形ABC的周长=4+2根号2。

关于当P 为AC中点时，PM+PN取得最小值的证明思路：
（1）作点N关于AC的对称点N'，连MN'，交AC于点P，则PM+PN最小；
（2）证明MN'//BC

追问

为什么p为ac中点时值最小

追答

M、N是直线AC同侧的两个点，P是直线AC上的点，要使PM+PN最小，也就是要在AC上找一点，使它与同侧上的两点的线段的和最小。
点P的找法（课本中有）：上面的（1）。
点P的位置：线段AC的中点。证明思路：上面的（2）。
设NN'与AC相交于Q，因为AC是NN'的垂直平分线，三角形ABC是等腰直角三角形，
所以CN=CN'，CN'垂直BC，
又因为M、N分别是两直角边的中点，所以BM=CN，因此四边形BCN'M是矩形，
所以MN'//BC，于是P为AC中点。

追问

懂了 我觉得你应该说简单点 只要证明pn∥ab pm∥bc 利用相似就可以算出来了 唉 还是很感谢的