Question

如图，平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴的正半轴上，一直角边AC在射线OP上，且顶点A与原点重合

如图，平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴的正半轴上，一直角边AC在射线OP上，且顶点A与原点重合，已知AC=3,BC=4随着顶点A由点O出发沿x轴的正半轴滑动（点A始终在x轴上），顶点B也沿着y轴向点O滑动，这样点C的位置也相应的改变。
（1）设点C的横坐标为m，问在滑动过程中，顶点C是否总在射线OP上？若在，请给出证明，并求出m的取值范围；若不在，请说明理由；
（2）在（1）的情况下，当顶点B下滑到点O处（即B.O两点重合）时，顶点C在从滑动开始到结束的整个过程中移动的路程是多少？

Answer 1

（1）在初始位置，从C作CD垂直X轴于D,作CE垂直Y轴于E
∠ECA+∠DCA=∠ECD=90
∠ECA+∠ECB=∠ACB=90
所以∠DCA=∠ECB
∠BEC=∠ADC=90
所以△BCE∽△ACD，CE：CD=BC：AC=4：3
因此C在直线Y=3X/4上，所以OP所在直线为Y=3X/4
开始移动后，仍然作CD垂直X轴，CE垂直Y轴。两三角形仍然相似
CE：CD始终为4：3，因此C点总在射线OP上
在初始位置时，CE为RT△ABC斜边上的高，AB=5，CE=AC×BC/AB=12/5
当B点下滑到使BC平行X轴时（B、E重合），此时C距离Y轴最远，为4
当B与O重合时，AB为X轴一部分，简单有△CBE∽△ABC，
CE：BC=BC：AB=4：5，CE=16/5
因此12/5≤M≤4
（2）在初始位置，CO=AC=3；移动到BC平行X轴的过程中，CO距离持续增加，当BC平行X轴时，CO=AB=5；再移动到O、B重合时，CO距离持续减小，当O、B重合时，CO=BC=4
因此C点移动路程为：5-3+（5-4）=3

Answer 2

1）在初始位置，从C作CD垂直X轴于D,作CE垂直Y轴于E
∠ECA+∠DCA=∠ECD=90
∠ECA+∠ECB=∠ACB=90
所以∠DCA=∠ECB
∠BEC=∠ADC=90
所以△BCE∽△ACD，CE：CD=BC：AC=4：3
因此C在直线Y=3X/4上，所以OP所在直线为Y=3X/4
开始移动后，仍然作CD垂直X轴，CE垂直Y轴。两三角形仍然相似
CE：CD始终为4：3，因此C点总在射线OP上
在初始位置时，CE为RT△ABC斜边上的高，AB=5，CE=AC×BC/AB=12/5
当B点下滑到使BC平行X轴时（B、E重合），此时C距离Y轴最远，为4
当B与O重合时，AB为X轴一部分，简单有△CBE∽△ABC，
CE：BC=BC：AB=4：5，CE=16/5
因此12/5≤M≤4
（2）在初始位置，CO=AC=3；移动到BC平行X轴的过程中，CO距离持续增加，当BC平行X轴时，CO=AB=5；再移动到O、B重合时，CO距离持续减小，当O、B重合时，CO=BC=4
因此C点移动路程为：5-3+（5-4）=3