Question

高中数学函数问题，望高手解答小弟心中的疑虑！！！！

这是2011广东数学高考题，答案是公布了，但我还是不懂，这道题a的取值范围为什么要围绕着1和1/3来解答呢 ？ 其它数字不行吗？ 1合1/3是怎么得来的？

Answer 1

设a>0，讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x^2-2(1-a)x的单调性

下面按我的思路，助你进行详细的讨论，讨论函数的单调性，一般要应用导数的方法
解析：∵函数f(x)=lnx+a(1-a)x^2-2(1-a)x，其定义域为x>0
F’(x)=1/x+2a(1-a)x-2(1-a)=[2a(1-a)x^2-2(1-a)x+1]/x
因为函数中含有字符常量a,(1-a)，所以在讨论函数性质时，考虑字符常量对函数性质的影响，∵a>0，所以根据(1-a)将a分为0<a<1，a=1，a>1三种情况讨论

当a=1时
F’(x)=1/x>0，∴函数f(x)在定义域内单调增；

当0<a<1时
F’(x)= [2a(1-a)x^2-2(1-a)x+1]/x
因为x>0，所以f’(x)的符号取决于分子
设h(x)= 2a(1-a)x^2-2(1-a)x+1
∵2a(1-a)>0，∴h(x)图像为开口向上的抛物线
⊿=4(1-a)^2-8a(1-a)=4(1-a)(1-3a)
根据⊿是>0,=0,<0，可以确定方程h(x)=0根的情况
∵4(1-a)>0,∴⊿的符号取决于(1-3a)的符号
当1-3a>0==>a<1/3时，⊿>0
方程h(x)=0有二个不等实根
X1=[2(1-a)- √⊿]/[4a(1-a)]，X2=[2(1-a)+ √⊿]/[4a(1-a)]
且0<x1<x2
∴在(0,x1)或(x2,+∞)上，f’(x)>0，函数f(x)单调增；
在(x1,x2)上，f’(x)<0，函数f(x)单调减；
当1-3a=0==>a=1/3时，⊿=0
方程h(x)=0有二个相等实根
X1=x2=(1-a)/[2a(1-a)]
∴在定义域内，f’(x)>=0，函数f(x)单调增；
当1-3a<0==>1/3<a<1时，⊿<0
方程h(x)=0无解
∴在定义域内，f’(x)>0，函数f(x)单调增；

当a>1时
F’(x)= [2a(1-a)x^2-2(1-a)x+1]/x
设h(x)= 2a(1-a)x^2-2(1-a)x+1
∵2a(1-a)<0，∴h(x)图像为开口向下的抛物线
⊿=4(1-a)^2-8a(1-a)=4(1-a)(1-3a)>0
方程h(x)=0有二个不等实根
X1=[2(1-a)- √⊿]/[4a(1-a)]，X2=[2(1-a)+ √⊿]/[4a(1-a)]
且x2<0<x1
∴在(0,x1)上，f’(x)>0，函数f(x)单调增；
∴在(x1,+∞)上，f’(x)<0，函数f(x)单调减；

追问

你所说的“因为函数中含有字符常量a,(1-a)，所以在讨论函数性质时，考虑字符常量对函数性质的影响，∵a>0，所以根据(1-a)将a分为01三种情况讨论” 我还是不太懂怎么就围绕01来讨论呢？ 02不行吗？

追答

∵a>0，根据(1-a)>0得到01三种情况讨论
“02”，不行，2是从何而来？无根无据

追问

我是否应该用B^2-4AC=0这条式子来求a的取值范围，在对a的取值范围进行讨论，还有我不太懂
“（a-1)=0” 这是怎么得来的？有没有可能出现f(x)=lnx+a(2-a)x^2-2(1-a)x这种情况 要是有得话，我又应该如何讨论a的取值？

追答

⊿=b^2-4ac是用来讨论二次函数或一元二次方程的；确定a的取值分类一般是根据函数表达式中字符串常量的表现形式，在本题中，函数表达式中,a 的表现形式为a和(1-a)，可考虑a>0,=0,0，所以只1-a>0,=0,2，分别讨论，最后综合出所求。

Answer 2

这题是讨论函数的单调性，要从f‘(x)的符号入手。
f‘(x)中有(1-a).当1-a=0即a=1时，f‘(x)是正的，f(x)是增函数
a≠1，就要求f‘(x)=0的值x1和x2，再分区间讨论。而判别式里有因式(a-1)(3a-1),如果它们为0，即a=1或a=1/3时，x1=x2，区间（x1，x2）就不存在，f‘(x)是一种情况。如果它们不为0，x1和x2就把x>0分成几个区间，这时讨论f‘(x)又是一种情况。
1和1/3就是这样得来的，不知你理解了没有。祝你进步！

Answer 3

a=1时，gx=1,所以这点取是没有问题的；
当a=1/3时，就是gx中，2a(1-a)=2(1-a)/2平方的解值，所以这一点也要取了。

Answer 4

不是根据delta算出来的吗？