Question

懂数学的达人请速进( ⊙ o ⊙ )，急急急急急急...（关于一道函数题的参考解答），采纳时悬赏分再额外加

如题：已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0）满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(-1/2+x)=f(-1/2-x)，求函数f(x)的表达式。

参考解答：∵f(0)=0,∴c=0
∵对于任意x∈R都有f(-1/2+x)=f(-1/2-x)，∴函数f(x)的对称轴为x=-1/2,即-b/(2a)=-1/2,
得a=b。
又f(x)≥x，即ax²+（b-1)x≥0对于任意x∈R都成立，∴a＞0，且△=（b-1)²≤0
∵（b-1)²≥0，∴b=1,a=1 ∴f(x)=x²+x

我的疑问是：请问该参考解答中的“∴a＞0，且△=（b-1)²≤0
与后面的∵（b-1)²≥0”不是互相矛盾吗？（前面说了“（b-1)²≤0”，后面应该得出的是
“-（b-1)²≥0吧”，为什么是“（b-1)²≥0”了呢(⊙o⊙)？
跪求详细解释（我的数学没学好），谢谢，根据回答的具体程度，采纳时再额外追加悬赏分5~50分，辛苦了
( ⊙ o ⊙ )啊！！！！！！

Answer 1

△=（b-1)²≤0 与（b-1)²≥0不矛盾
(b-1)²=0是两个都对
∴b-1=0,b=1

追问

O(∩_∩)O谢谢您( ⊙ o ⊙ )啊！那请问参考解答的后面如果写成"-（b-1)²≥0"这样子，正确吗？

追答

参考答案后面的应该为
∵（b-1²)≤0
∵（b-1)²<0不成立
∴只有(b-1)²=0
∴b-1=0,b=1

Answer 2

【1】
∵f(0)=0
∴当x=0时，可得：c=0
【2】
∵f[(-1/2)+x]=f[(-1/2)-x]
∴-b/(2a)={[(-1/2)+x]+[(-1/2)-x]}/2=-1/2
∴a=b
∴f(x)=ax²+ax.
【3】
∵恒有：ax²+ax≥x.
即恒有：x[(ax)+(a-1)]≥0.
当x＞0时，ax≥1-a
∴1-a≤0
当x＜0时，ax≤1-a
∴1-a≥0
∴a=b=1
∴f(x)=x²+x

Answer 3

前面的楼主都懂了，
也就是说在求△时候你认可了参考答案的以上说有的思路

只是为什么来一个∵（b-1)²≥0，
因为参考答案想表达的是（b-1)²这个数一定是非负数 （在实数范围内一定是的）
（b-1)²这个数既≤0，又要≥0，必然只能取0

两个条件联立必然求出b=1 (个人认为可以不用写这个条件）

Answer 4

先解释下a＞0是因为该曲线开口向上，（b－1）²≦是因为该曲线与x轴最多有一个交点，即最多只有一个解（这样才满足 ax²+（b-1)x≥0对于任意x∈R都成立 ）
（b－1）²≧0是因为这是一个平方值，本来就≧0
综合（b－1）²≧0和（b－1）²≦0两个条件得出的b＝1

Answer 5

又f(x)≥x，即ax²+（b-1)x≥0对于任意x∈R都成立,这里是说一个新的函数ax²+（b-1)x，他≥0时只有a＞0，且△=（b-1)²≤0
才成立，
后面∵（b-1)²≥0是说（b-1)²本身就≥0
所以两式说明（b-1)²=0（只有=0，才使两式同成立）
∴b=1------->a=1---->∴f(x)=x²+x

Answer 6

要使二次函数ax²+（b-1)x≥0恒成立，那么必定a＞0，且△=（b-1)²≤0
a＞0抛物线开口向上，△=（b-1)²≤0保证抛物线与X轴无交点，或者两个相同的交点（其实就是一个交点），这样的话，就不会有＜0的情况，就恒成立了，这个是二次函数恒成立常用的讨论方法