Question

函数f(x)=2e^x-ax^2+(a-2e)x有三个零点，求a的范围.

函数f(x)=2e^x-ax^2+(a-2e)x有三个零点，求a的范围.

Answer 1

f(x)=2e^x-ax²+(a-2e)x
f(x)有三个零点,则f(x)必然存在二个驻点x₁ x₂，且f(x₁)·f(x₂)<0
f'(x)=2e^x-2ax+(a-2e)
f''(x)=2e^x-2a
当a≤0时 f''(x)>0 f'(x)单调递增，最多一个零点,f(x)最多两个零点。
a>0
lim(x→-∞)f(x)=-∞
lim(x→+∞)f(x)=+∞
∴左侧极值点为极大值点，右侧极值点为极小值点
f'(x)的极值点x=lna
f'''(x)=2e^x>0
∴f'(lna)=2a-2alna+a-2e=3a-2alna-2e 为极小值
令g(a)=3a-2alna-2e
g'(a)=1-2lna
驻点a=√e
g''(a)=-1/a<0
g(√e)=3√e-√e-2e<0
∴f(x)必有两个驻点
f'(1)=-a<0
∴极大值点x₁<1 极小值点x₂>1
∴f(x₁)>f(0)=2>0
f(x₂)<f(1)=0
∴当且仅当a>0时，f(x)有三个零点
∴a的范围a∈(0,+∞)