Question

函数f(x)=2e^x-ax^2 (a-2e)x有三个不同的零点则a的取值范围

Answer 1

(0，+∞)
解：
(1)a<0时
令y1=2e^x，y2=ax²-(a-2e)
∵y1“开口向上”，y2开口向下
∴y1和y2最多只有两个交点
∴ f(x)最多有2个零点
(2)a=0时
f(x)=2e^x-2ex，只有一个零点x=1
(3)a>0时，
f'(x)=2e^x-2ax+(a-2e)
f''(x)=2e^x-2a，在R上单调递增
e^x>a时，f''(x)>0， f'(x)>0单调递增
e^x<a时，f''(x)<0， f'(x)<0单调递减
e^x=a时，f'(x)取得最小值
f'(x) _min
=2a-2alna+(a-2e)
=3a-2alna-2e
令g(x)=3x-2e-2xlnx(x>0)
则g'(x)=3-2(lnx+1)
由g'(x)=0得， x=√e
x>√e时， g'(x)<0， g(x)单调递减
x<√e时， g'(x)>0， g(x)单调递增
∴x=√e时，g(x)取得最大值
g(√e)
=3√e-2e-2√e(1/2)
=2(√e-e)
<0
∴ g(x)<g(√e)<0
∴ f'(x) _min=3a-2alna-2e<0
∵f''(x)单调且f'(x)_min小于零
∴f'(x)必有两个零点
又∵f'(1)=-a<0
∴f'(x)的两个零点，一个小于1，一个大于1
∴f'(x)必有两个极点且分居x=1左右
又∵f(1)=0
∴f(x)的图像必然是↗ ↘ ↗且过点(1，0)
∴f(x)必有3个零点
综上，
a的取值范围是(0，1)
PS：
附上，a=1时，f(x)=2e^x-x²+(1-2e)x的函数图像

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