Question

八年级数学下几何题

在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，求证：①△ABG≌△AFG ②BG=GC ③AG∥CF ④求三角形FGC面积。

Answer 1

证明：①AF=AD AD=AB 所以AF=AB;
∠AFE=∠ADE=90°=∠ABG;
AG=AG 所以：△ABG≌△AFG。
②设BG=x,CD=3DE,DE=AB=6,则DE=FE=2。
△ABG≌△AFG，则BG=FG=x,CG=BC-BG=6-x
CG^2+CE^2=EG^2(勾股定理)
则：（6-x）^2+4^2=(2+x)^2，解得x=3.则BG=3,GC=6-x=3.
则BG=GC。（方法比较笨哈）
③BG=GF=GC=3
则∠GCF=∠GFC,∠GCF+∠GFC+∠FGC=180°=2∠FCG+∠FGC
∠AGB=∠AGF,∠AGB+∠AGF+∠FGC=180°=2∠AGB+∠FGC
则∠FCG=∠AGB
则AG∥CF 。
④GF/GE=GF/(GF+FE)=3/5
则△FGC的面积为△EGC的3/5.
△EGC的面积为GC*CE/2=3*4/2=6.
则△FGC的面积为3.6.

Answer 2

（1）证：
∵△ADE≌△AFE
∴AF=AD,∠AFE=∠D
又∵ABCD为正方形
∴AB=AD,∠B=∠D
∴AF=AB,∠AFE=∠B
又∵AG=AG
∴△ABG≌△AFG
（2）证：
假设BG=GC
∵ABCD为正方形，AB=6
∴BG=GC=3
由（1）得，△ABG≌△AFG
∴GF=3
又∵CD=3DE
∴DE=2，CE=4
∴EF=DE=2
∴EG=EF+GF=5
∴有EG^2=CG^2+CE^2
∴满足题意，故得BG=GC
【第三题比较麻烦，等你追问再回答】
（4）解：
过点F做FH⊥BC
∵EC⊥BC
∴EC//FH
∴△GFH∽△GEC
∴FH/CE=GF/GE
∵由（1）（2）得CE=4,GF=3,GE=5
∴解得：FH=12/5
又∵CG=3
∴S△FGC=CG*FH/2=18/5

Answer 3

证明：
①∵ AF=AD AD=AB ∴AF=AB
∵∠AFE=∠ADE=90° ∴∠AFG=90° ∴∠AFG=∠ABG
又∵AG=AG
∴ △ABG≌△AFG。
②EF=DE=1/3DC=2
CE=DC-DE=4
∵△ABG≌△AFG ∴ FG=BG=BC-GC=6-GC
∵△GCE为直角三角形 ∴CG^2+CE^2=EG^2
带入算式得： CG^2+4^2=（6-GC）^2
解得CG=3
∵BG=BC-CG=6-3=3 ∴BG=GC
③∵FG=GC ∴ ∠GCF=∠GFC
∵△ABG≌△AFG ∴∠AGB=∠AGF
又∵∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF（三角形的外角等于另两个内角和）
∴∠GCF=∠AGB
∴AG//CF
④过F点做GC的垂线FH
∵FH//CE ∴△GFH∽ △GCE
∴FH：CE=GF：GE
FH=CE×GF÷GE=4×3÷5=2.4
△FGC的面积=GC×FH÷2=3×2.4÷2=3.6