Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系。

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（ASA），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ADC≌△CEB（ASA），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）DE=BE-AD．证明的方法与（2）相同．

Answer 2

证：（1）∵∠ACB=90°，直线MN经过点C
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴∠ACD=∠CBE，∠ADC=∠CEB=90°
又∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE
∴AD=CE，BE=DC
∴DE=CE+DC=AD+BE
（2）∵∠ACB=90°，直线MN经过点C
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴∠ACD=∠CBE，∠ADC=∠CEB=90°
又∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE
∴AD=CE，BE=DC
∴DE=CE-DC=AD-BE
（3）同理DE=BE-AD